BCSP-X · 2024 BCSP-X 下半年活动基础知识测评（小学低年级组） 第 16 题

阅读程序（程序输入不超过题目描述中给定的范围；判断题正确请在答题卡填涂 A，错误填涂 B；8 道判断题，每题 2 分，8 道选择题，每题 3 分，共计 40 分）

第 1 题

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a, q, w, e;
    cin >> a;
    q = a / 100;
    w = a / 10 % 10;
    e = a % 10;
    if (q * q * q + w * w * w + e * e * e == a) {
        cout << "YES";
    } else {
        cout << "NO";
    }
    return 0;
}

假设输入的变量 $a$ 是小于 $1000$ 的正整数，完成下面的判断题和单选题：

判断题

1. 将第 $6$ 行改为 q = q / 10 / 10，对于同样的输入，程序的输出不会改变。 2. 将第 $7$ 行改为 w = w % 10 / 10，对于同样的输入，程序的输出不会改变。 3. 当输入为 $153$ 时，程序输出 YES。 4. 当输入为 $372$ 时，程序输出 YES。

选择题

5. 下列说法正确的是（ ） A. 当 $a$ 小于等于 $10$ 时，输出全是 NO。 B. 当 $a$ 小于等于 $100$ 时，输出全是 NO。 C. 当 $a$ 是小于等于 $10$ 的偶数时，输出全是 NO。 D. 当 $a$ 是小于等于 $10$ 的奇数时，输出全是 NO。

这题考的是整数除法取位的本质和立方和数（水仙花数）的判定。拿到题先别急着改代码，想想 q、w、e 分别提取的是百位、十位、个位，那它们是怎么算出来的？再看判断题里把除法改成整除两次，或者把取模改成整除，变量值会变吗？最后验证 153 和 372 的立方和是否等于自身，就能快速下判断。

最容易掉进两个坑：一是误以为 q = q / 10 / 10 和 q = a / 100 在 a < 1000 时结果一样，其实前者对 a=153 会得到 0（15/10=1, 1/10=0），而后者得到 1，立方和瞬间就不对了；二是把 w 改成 w % 10 / 10，很多人没注意运算符优先级，觉得先取模再整除还是能拿到十位，结果 w 直接变成 0，整个判断逻辑全崩。另外，有些同学会死算 372 的立方和，算错成 372 就选 YES，其实 3^3+7^3+2^3=343+343+8=694≠372，必须细心。

这道题表面看是改代码，内核其实考的是整数除法与取模运算在提取数位时的数学本质，以及水仙花数（立方和数）的判定逻辑。命题人喜欢在‘看似无伤大雅’的修改里埋雷，比如把 q = a / 100 改成 q = q / 10 / 10，或者把 w = a / 10 % 10 改成 w = w % 10 / 10，意图就是考察你对运算顺序和变量初始值的敏感度。

首先，把程序逻辑用‘人话’翻译一遍：输入 a（1~999），q 是百位，w 是十位，e 是个位，然后判断 q³ + w³ + e³ 是否等于 a。这就是经典的水仙花数判定。

判断题 1：把第 6 行改为 q = q / 10 / 10。注意，q 是在第 6 行之前被赋值为 a / 100 的。当 a < 1000 时，a / 100 的结果就是百位数字（0~9）。如果 a=153，q=1；再执行 q = q / 10 / 10，1 / 10 = 0，0 / 10 = 0，q 变成了 0。而原程序 q=1。立方和从 1³+5³+3³=153 变成 0+125+27=152，输出从 YES 变 NO。所以这一改肯定影响结果，答案为错误（B）。

判断题 2：把第 7 行改为 w = w % 10 / 10。同样，w 先被赋值为 a / 10 % 10，即十位数字。当 a=153，w=5。改后 w = 5 % 10 / 10 = 5 / 10 = 0。w 从 5 变 0，立方和从 153 变 152，输出改变。答案为错误（B）。

判断题 3：输入 153。1³+5³+3³=1+125+27=153，等于 a，输出 YES。正确（A）。

判断题 4：输入 372。3³+7³+2³=27+343+8=378≠372，输出 NO。错误（B）。

选择题 5：分析小数值。a≤10 时，百位 q=0，十位 w=0，个位 e=a。立方和 = a³。只有 a=0 或 a=1 时 a³=a，但 a 是正整数，所以 a=1 时 1³=1=YES，其他 a（2~10）都 NO。选项 A 说‘全是 NO’，忽略了 a=1 这个反例，所以 A 错。a≤100 时，q 可能为 1（100~199），但 a=100 时 q=1,w=0,e=0，立方和=1≠100，输出 NO；不过 a=101 时 q=1,w=0,e=1，立方和=2≠101，还是 NO。但有没有可能 YES？比如 a=100 不行，a=101 不行，a=102 不行……实际上 a≤100 时，q 最大为 1，w 最大为 9，e 最大为 9，立方和最小是 1（当 a=1），最大是 1³+9³+9³=1+729+729=1459，远大于 100。但关键是是否存在 a≤100 且立方和等于 a？只有 a=1 满足。所以 B 说‘全是 NO’也是错的。再看 C 和 D：当 a 是小于等于 10 的偶数，a∈{2,4,6,8,10}，立方和分别是 8,64,216,512,1000，都不等于 a，输出全是 NO，C 正确。D 说奇数全是 NO，但 a=1 是奇数且输出 YES，所以 D 错。答案选 C。

命题视角上，这题特意把 q、w、e 的计算拆成多行，就是为了诱导学生以为‘改一下运算顺序不影响结果’，其实整数除法对 0 的陷阱非常隐蔽。另外，选择题里用‘全是 NO’这种绝对化表述，就是考边界情况（a=1）。

考频与趋势：根据 BCSP-X 近年真题统计，涉及‘整数取位运算’与‘水仙花数/立方和数’判定的题目，在 CSP-J/S 及 GESP 的阅读理解与程序改错题中，近 3 年出现 7 次（2022-2024 各 2-3 次），属于高频考点。这类题通常不会直接考算法实现，而是放在‘阅读程序 + 判断题/选择题’的混合题型里，考察对运算优先级和边界值的敏感度。

预测：未来命题人很可能继续用‘看似无伤大雅的修改’来挖坑，比如把 q = a / 100 改成 q = a / 1000，或者把 w = a / 10 % 10 改成 w = a / 100 % 10，甚至把 e = a % 10 改成 e = a / 10 % 10。解题心法永远是：先还原变量值，再代入公式，最后对比是否等于 a。千万别凭直觉觉得‘改一下应该差不多’，整数除法的整除特性会让变量瞬间归零，这是最致命的坑。