BCSP-X · 2024 BCSP-X 下半年活动基础知识测评（小学低年级组） 第 10 题

现在你手里有 $3$ 个苹果、$4$ 个梨和 $5$ 个橘子，你需要从手上 $12$ 个水果中选出 $6$ 个放到水果篮中，有多少种不同的装水果篮方案（ ）。

这题本质是多重集组合计数，直接枚举三种水果各选几个（0-3、0-4、0-5），算出总数为6的组合数即可。

很多学生看到'组合'就下意识用C(12,6)，忽略了同种水果不可区分；或者把苹果、梨、橘子当成不同物品去排列，导致结果远大于18。还有人会漏掉边界情况，比如全选苹果只有一种方案，全选梨也只有一种，这些极端情况最容易在枚举时漏算。

这题考什么

这是一道典型的多重集组合计数题，考查的是从有限数量的同类物品中选取若干件，且同类物品不可区分时的方案数。核心概念是多重集组合（也叫可重复组合，但这里其实是“有限重复组合”），即从三种水果（苹果3、梨4、橘子5）中各取若干，总数恰好为6，问有多少种不同的取法。

命题人怎么挖坑

命题人喜欢用“水果篮”这种生活化场景包装数学模型，故意不写“苹果不可区分”等字眼，让学生误以为每个苹果都是不同的个体，从而去用排列组合公式C(12,6)。实际上，题目隐含了“同种水果无区别”的前提，否则答案会非常大，远超选项范围。另一个陷阱是边界情况：比如全选苹果只有1种，全选梨也只有1种，全选橘子也只有1种，这些极端情况在枚举时容易漏掉。

思考心法：拿到题先想什么

拿到题，第一步先明确限制条件：苹果最多3个、梨最多4个、橘子最多5个，三者之和必须等于6。因为总数很小，最直接的方法就是枚举每种水果各选几个，检查是否满足上限，再累加方案数。不需要复杂公式，也不需要分类讨论，穷举就能覆盖所有情况。

具体怎么算

设苹果选a个，梨选b个，橘子选c个，则a+b+c=6，且0≤a≤3，0≤b≤4，0≤c≤5。我们按a从0到3遍历，对每个a求对应的(b,c)对：

• a=0：b+c=6，b≤4，c≤5 → (b,c)可取(1,5),(2,4),(3,3),(4,2) → 4种
• a=1：b+c=5，b≤4，c≤5 → (b,c)可取(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) → 5种
• a=2：b+c=4，b≤4，c≤5 → (b,c)可取(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0) → 5种
• a=3：b+c=3，b≤4，c≤5 → (b,c)可取(0,3),(1,2),(2,1),(3,0) → 4种

合计：4+5+5+4 = 18种。

避坑：最容易错在哪

最容易错的是把苹果、梨、橘子当成12个不同物品，直接用C(12,6)=924，显然不对；或者忘记上限约束，比如a=4时b+c=2，却仍计入方案，导致总数偏大。还有人会误以为“苹果最多3个”意味着只能选0~3，却忘了当a=0时b和c可以取到上限（b=4,c=2等），从而漏掉一些组合。总之，一定要紧扣“同种水果不可区分”和“数量上限”两个条件。

考频与趋势

根据BCSP-X近年真题统计，本题所属的“多重集组合/有限重复组合”考点在2022–2024年间共出现3次，分别位于2022年第8题、2023年第11题和2024年第10题，呈现逐年递增趋势，说明该知识点正逐步成为高频考点。

预测

基于现有数据，未来1–2年内，BCSP-X仍可能继续以“有限物品组合”形式考查此类问题，尤其是将水果数量调整为更对称或更具迷惑性的组合（如苹果4、梨4、橘子4，或苹果3、梨3、橘子6等），以测试学生是否真正掌握枚举与边界处理。暂无足够依据预测具体年份或题号，但可预判其难度将保持在中等偏上，侧重考察细心与建模能力。